浙江2011年10月自考10099近世代数真题及答案

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2011年10月自考10099近世代数真题及答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有3个元素，集合B中含有4个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有______个元素。（）

A.3 B.4

C.7 D.12

2．设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射

：x→2x，x∈R，

则是从A到B的______。（）

A.满射而非单射B.单射而非满射

C.一一映射D.既非单射也非满射

3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，则S3的子群共有______个。（）

A.2 B.4

C.6 D.8

4．设Z 12是以12为模的剩余类加群，那么，Z 12的生成元共有______个。（）

A.4 B.6

C.8 D.12

5.设I1，I2是环R的两个子环，0是环R的零元素，那么在下列集合中，______未必是环R的子环。（）

A.I1 I2＝{x|x∈I1或x∈I2}B.{0}

C.I1 I2＝{x|x∈I1且x∈I2}D.环R本身

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设“”是集合A×A到A的一个代数运算，如果对于a，b，c∈A，“”满足______，则称代数运算“”适合结合律。

7.设(G，?)是一个群，则对于a，b，c∈G，方程ax＝b和ya＝b在G中有唯一解，那么，这两个方程的解分别为______。

8.设＝(5234)，＝(135)∈S5，那么，＝______(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9.设Z12＝{[0]，[1]，[2]，…，[11]}是以12为模的剩余类加群，那么，Z12的子群共有______个。

10.在3次对称群S3中，设子群H＝{(1)，(23)}，则子群H关于元素(132)的右陪集H(132)＝______。

11.设(R，＋，?)是一个至少含有两个元素的环，如果R满足______，则称R是一个除环。

12.设Z6＝{[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}是以6为模的剩余类环，那么，在Z6的子集

{[0]，[2]，[4]}，{[1]}，{[0]，[3]}

中，______不是Z6的子环。

13.设F是一个域，则F的理想有______个。

14.设Z[x]是整系数多项式环，f(x)＝6x2－24，则f(x)在Z[x]中的不可约分解为______。

15.已知，i是有理数域Q上的两个代数元，则Q(，i)在有理数域Q上的扩域次数：

(Q(，i):Q)＝______。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16．设Z9为以9为模的剩余类加群，即Z9＝{[0]，[1]，[2]，…，[8]}。

找出Z9的全部生成元，并找出Z9的所有子群。

17．设数集G＝{2m3n|m，n∈Z}，已知G关于数的乘法作成群。作G到G的映射：2m3n→2m，2m3n∈G，验证是G到G的一个同态映射，且求映射的核Ker。

18．设Z5[x]为以5为模的剩余类环Z5＝{}上的一元多项式环，在Z5[x]中化简(给出化简的步骤)：。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）

19．设G是一个群，a，b∈G，如果元素a的阶为3，b的阶为4，且ab＝ba，证明：ab的阶为12。

20．设H是循环群G的子群，证明：H也是循环群。

21．设已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。