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全国2010年1月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题
课程代码:04184
说明:本卷中,AT表示矩阵A的转置,αT表示向量α的转置,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,A-1表示方阵A的逆矩阵,r(A)表示矩阵A的秩.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
2.设A,B,C为同阶可逆方阵,则(ABC)-1=( )
A. A-1B-1C-1 B. C-1B-1A-1
C. C-1A-1B-1 D. A-1C-1B-1
3.设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A=(α1,α2,α3,α4).如果|A|=2,则|-2A|=( )
A.-32 B.-4
C.4 D.32
4.设α1,α2,α3,α4 是三维实向量,则( )
A. α1,α2,α3,α4一定线性无关 B. α1一定可由α2,α3,α4线性表出
C. α1,α2,α3,α4一定线性相关 D. α1,α2,α3一定线性无关
5.向量组α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3=(1,1,1)的秩为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.设A是4×6矩阵,r(A)=2,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.设A是m×n矩阵,已知Ax=0只有零解,则以下结论正确的是( )
A.m≥n B.Ax=b(其中b是m维实向量)必有唯一解
C.r(A)=m D.Ax=0存在基础解系
A.4 B.5
C.6 D.7
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
13.设方阵A满足A3-2A+E=0,则(A2-2E)-1=_________.
14.实数向量空间V={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0}的维数是_________.
15.设α1,α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A(5α2-4α1)=_________.
16.设A是m×n实矩阵,若r(ATA)=5,则r(A)=_________.
17.设线性方程组有无穷多个解,则a=_________.
18.设n阶矩阵A有一个特征值3,则|-3E+A|=_________.
19.设向量α=(1,2,-2),β=(2,a,3),且α与β正交,则a=_________.
20.二次型的秩为_________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
23.设向量α=(3,2),求(αTα)101.
24.设向量组α1=(1,2,3,6),α2=(1,-1,2,4),α3=(-1,1,-2,-8),α4=(1,2,3,2).
(1)求该向量组的一个极大线性无关组;
(2)将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.
四、证明题(本大题6分)
27.已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,证明:α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4-α1线性无关.
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