08202地图学自考资料：地图的数学基础

自考生网为考生收集整理了“08202地图学自考资料：地图的数学基础“以供考生们复习使用。自考教材每隔几年都会更新、变动，但相关知识大体不变，考生们抓住考点进行复习即可。

更多资料可查看：地图学考试题库、自考教材（相同课程各省教材不一定相同，请按省搜索）。

地图的数学基础

基础

1.地球物理表面：

当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。

在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。它所包围的形体称为大地体。

3.地球体的数学表面——地球椭球表面，它是一个规则的数学表面，是对地球形体的二次综合，用于测量计算的基准面。

一、地理坐标——用经纬度表示地面点位的球面坐标。

①天文经纬度②大地经纬度③地心经纬度

天文经纬度：表示实际地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。

大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l、大地纬度和大地高h表示。地心经纬度：地心经度同大地经度l在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。

我国沿用了两个大地坐标系,即(1)1954年北京坐标系(2)1980年国家大地坐标系

1980年国家大地坐标系主要优点：

1.椭球体参数精度高；2.定位所决定的椭球体面与我国大地水准面符合得好；3.天文大地网坐标经过了全国的整体平差。4.直接满足1：5000甚至更大比例尺测图的需要等。

1.地图投影（定义）：就是按照一定的数学法则,将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，使地面点的地理坐标（，）与地图上相对应的点的平面直角坐标（x，y）或平面极坐标（，）间，建立起一一对应函数关系。

2．投影变形

1）投影变形表现在长度、面积和角度三个方面。

2）投影变形的相关概念

a.长度比和长度变形

平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：μ=ds’/ds，其指某点某方向上微小线段之比。

最大长度比（a），最小长度比（b），经线长度比（m），纬线长度比（n）

投影后经纬线成正交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：

m2+n2=a2+b2，m·n·sinθ=a·b

b.面积比与面积变形

面积比：投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比，用P表示面积比：P=a·b=m·n(θ=90)；P=m·n·sinθ(θ≠90)

面积变形：面积比和1的差值，用Vp表示。

c.角度变形

投影面上任意两方向线夹角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。

设A点的坐标为（x、y）A′点的坐标为(x′、y′)，则：sin(w/2)=(a-b)/(a+b)

3.地图投影分类

1)按变形性质分类：等角投影、等积投影、任意投影

等角投影：

等角投影的条件为：w=sin(w/2)=(a－b)/（a+b)=0 a=b，m=n

等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。

多用于编制航海图、洋流图、风向图等地图。

等积投影：

等积投影的条件是：Vp=p―１＝０p=1因为p=ab所以a=1/b或b=1/a

由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。

任意投影：

长度、面积和角度都有变形，但又都不大。任意投影中，有一种等距投影。它不是没有长度变形，只是在特定方向上没有长度变形。等距投影的面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。多用于一般参考用图和教学地图。

三种变形的关系：（1）在等积投影上不能保持等角特性，在等角投影上不能保持等积特性。

（2）等积投影的形状变形比较大，等角投影的面积变形比较大。

（3）在任意投影上不能保持等角和等积的特性

2)按构成方法分类：几何投影、非几何投影

几何投影分类：（1）方位投影（2）圆柱投影（3）圆锥投影

非几何投影：方位投影、伪方位投影、伪圆柱投影、桑逊投影、伪圆锥投影、多圆锥投影

4.方位投影

方位投影的特点是：在投影平面上，由投影中（平面与球面的切点）向各方向的方位角与实地相等，其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。

绘制地图时，总是希望地图上的变形尽可能小，而且分布比较均匀。一般要求等变形线最好与制图区域轮廓一致。因此，方位投影适合绘制区域轮廓大致为圆形的地图。

从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。

5.圆柱投影

1）等角正轴切圆柱投影（墨卡托投影）：

特点：赤道投影为正长；

纬线投影成和赤道等长的平行线段，即离赤道越远，纬线投影的长度比也越大；

在墨卡托投影中，面积变形最大，如在纬度60度地区，经线和纬线比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，墨卡托投影在80度以上高纬地区通常就不绘出来。

墨卡托投影应用：1.广泛应用于航海和航空方面。

2.还用于编制赤道附近等国家和地区的地图。

3.作世界时区图和卫星轨迹图。

2）高斯－克吕格投影：

投影特点：（1）中央经线和赤道被投影为互相垂直的直线，而且是投影的对称轴；

（2）投影后没有角度变形；

（3）中央经线上没有长度变形，离开中经越远变形越大，最大变形在赤道上。

高斯－克吕格投影分带：

6°分带法：从格林尼治零度经线起，每6°为一个投影带，全球共分60个投影带。

3°分带法：从东经1°30′算起，每3°为一个投影带，将全球划为120个投影带。

6.圆锥投影（经线为放射性直线）

1）切圆锥投影

圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线，叫做标准纬线。它符合主比例尺，这条纬线通常位于制图区域的中间部位。从切线向南向北，变形逐渐增大。

1）圆锥投影面展开成扇形2）纬线是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧

3）经线为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，比实地经差小。

2）割圆锥投影

3）等角圆锥投影

投影条件:地图上没有角度变形，w=0；每一点上经线长度比与纬线长度比相等，m=n。

4）等积圆锥投影

投影条件：投影后面积没有变形，即P=ab=1。

等积圆锥投影常用以编制行政区划图，人口密度图及社会经济地图或某些自然图。它是绘制我国地图时常采用投影之一，其他国家出版的许多图集也采用该投影。

5）等距圆锥投影

投影条件：经线投影后保持正长，即经线方向上的长度比为1。在标准纬线上也无变形，除此以外其他纬线均有变形。

7.地图投影的选择

1）制图区域的地理位置的影响

决定投影的种类，在极地，应选正轴方位；在赤道，应选横轴方位、正轴圆柱；在中纬，应选正轴圆锥或斜轴方位。

2）形状的影响

中纬地区：沿纬线延伸，应选正轴圆锥；沿经线延伸，应选多圆锥投影；呈圆形，则应选斜轴方位。低纬地区：沿赤道延伸，应选正轴圆柱；如呈圆形，选横轴方位为宜

3）地图内容对投影选择的影响

主题和内容影响投影选择：

如交通图、航海图、航空图、军用地形图等多采用等角投影；

自然和社会经济地图的分布图、类型图、区划图等一般采用等积投影。

世界时区图，为使时区的表现得清楚，只能选择经线投影成直线的正轴圆柱投影。

中国政区图，为能完整连续地表示，应选用斜轴方位。

教学用图，选择变形不大的任意投影，如等距投影。

8.地图比例尺

大比例尺：1：10万及大于1：10万中比例尺：介于1：10万到1：100万之间

小比例尺：1：100万及小于1：100万

更多复习资料可查看“自考复习资料”栏目。