2020年江苏28111高等代数自考考试大纲

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江苏教育学院编

28111 高等代数

第一章线性空间

一、要求

1.理解线性空间的概念及其基本性质。

2.掌握线性空间中向量的线性相关性的概念及有关结论。

3.掌握线性空间的维数、基与坐标的概念及求法，了解维数、基与所考虑的数域有关。

4.掌握两个基之间的过渡矩阵及其形式写法和运算规律，能熟练地应用基变换与坐标变换公式。

5.理解线性子空间及生成子空间的概念与有关性质，掌握基扩充定理。

6.掌握子空间的交、和与直和的概念及直和的充分必要条件，理解维数公式的意义。

7.理解和掌握线性空间同构的概念及同构的充分必要条件。

二、考试内容

1.线性空间的概念

线性空间的定义和基本性质，常见线性空间的例子。

2.线性相关性

线性组合、线性相关和线性无关等基本概念及其有关的结论。

3.维数、基和坐标

维数、基与坐标的概念及求法、维数、基与所考虑的数域的关系，常见线性空间的自然基。

4.基变换与坐标变换

过渡矩阵及其性质、基变换公式与坐标变换公式。

5.子空间

子空间的概念及其等价条件，生成子空间的概念及其性质，基扩充定理。

6.子空间的交、和与直和

子空间的交与和的概念及有关定理，维数公式；直和的概念及直和的充分必要条件。

7.同构

线性空间同构的概念和性质、线性空间同构的充分必要条件。

第二章线性变换

一、要求

1.掌握线性变换的定义、基本性质及其运算。

2.理解线性变换的矩阵的概念，线性变换的运算与矩阵运算之间的对应关系，象与原象的坐标公式。

3.掌握矩阵相似的概念及其性质；理解同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系。

4.熟悉线性变换和矩阵的特征值，特征向量的概念及其关系；熟练掌握特征值、特征向量的求法；掌握特征子空间的概念。熟悉哈密尔顿一凯莱定理。

5.熟练掌握线性变换在适当基下的矩阵为对角矩阵的条件及求法。熟悉不同特征值的特征向量的性质。

6.理解线性变换的值域与核的概念及其性质。

7.掌握不变子空间和线性变换在其上引起的变换的概念及性质。不变子空间与线性变换矩阵化简的关系；熟悉将线性空间V按特征值分解成不变子空间的直和的结论。

8.熟悉矩阵最小多项式的概念和性质，理解矩阵的最小多项式与特征项式的关系，掌握根据最小多项式来判断矩阵相似于对角形的充分必要条件。

二、考试内容

1.线性变换的概念及其运算。

线性变换的定义及其基本性质；线性变换的运算。

2.线性变换的矩阵

线性变换的矩阵的概念，以及线性变换与矩阵之间的对应关系；象与原象的坐标之间的关系。

3.线性变换的特征值、特征向量

矩阵相似的概念：同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的相似关系；线性变换和矩阵的特征值、特征向量的概念及求法；特征多项式及其性质；特征子空间。

4.线性变换的对角化问题

属于不同特征值的特征向量线性无关的性质；线性变换在适当基下的矩阵为对角矩阵的条件及求法。

5.值域与核

线性变换的值域与核以及秩和零度的概念；线性变换的值域与线性变换的矩阵的列向理之间关系；线性变换的核与齐次线性方程组解空间的关系。

6.不变子空间

不变子空间的概念和性质；线性变换在不变子空间上引起的变换；不变子空间与矩化简的性质；线性空间按特征值分解成不变子空间的直和。

7.最小多项式

矩阵的最小多项式及其性质，最小多项式的求法，根据地最小多项式来判断相似于对角形的充分必要条件。

第三章λ—矩阵

一、要求

1.理解λ-矩阵的基本概念，了解λ-矩阵与数字矩阵有关概念的异同，掌握λ-矩阵可逆的充分必要条件，掌握λ-矩阵在初等变换下的标准及其求法。

2.掌握矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子的概念和求解方法，以及它们相互之间的关系；了解λ-矩阵等价的有关充分必要条件。

3.掌握矩阵相似的充分必要条件，了解矩阵的相似不变量。

4.掌握复数域上矩阵的若当标准形及其求法，了解任意数域上矩阵的有理标准及其求法。

二、考试内容

1.λ-矩阵

λ-矩阵的定义及其运算，λ-矩阵阵的秩，λ-矩阵可逆的充分必要条件，λ-矩阵的初等变换，λ-矩阵的等价，λ-矩阵在初等变换下的标准形。

2.不变因子

行列式因子、不变因子及相互关系；λ-矩阵等价的充分必要条件，λ-矩阵标准形的唯一性。

3.矩阵相似的条件

矩阵相似与特征矩阵等价的相互关系，初等因子，矩阵的相似不变量。

4.有理标准形和若当标准形

数域F上的多项式的友阵，在理标准形及其求法，若当块，若当标准形及其求法。

第四章欧氏空间

一、要求

1.掌握有关内积、欧氏空间、向量的长，夹角、正交等基本概念和性质。

2.理解度量矩阵的概念和性质；理解标准正交基的概念和作用；熟练掌握化线性无关向量组为单位正交向量组的正交化、单位化方法。

3.理解正交变换的概念、掌握正交换的有关等价条件。

4.理解正交子空间及正交补子空间的概念，了解欧氏空间的正交分解的意义。

5.理解实对称变换的概念及与实对称矩阵的对应关系；掌握有关实对称矩阵的特征值、特征向量的性质及其正交化简的结论，能熟练地对实对称矩阵，及实二次型的进行正交化简。

6.了解欧氏空间同构的概念及充分必要条件。

7.理解向量间的距离和向量到子空间的距离；了解最小二乘解及其求解方法。

二、考试内容

1.欧氏空间的概念

内积、欧氏空间的定义及其性质；向量的长，有关不等式，两个非零向量的夹角，向量的正交。

2.标准正交基

度量矩阵的概念和性质，不同基的度量矩阵的关系；标准正交基的概念及作用；化线性无关向量组成单位正交向量组的正交化，单位化方法。

3.正交变换

正交变换及其等价条件；正交换的几何意义。

4.正交子空间

子空间与子空间正交的概念及性质；正交补空间的概念和有关结论及其几何意义。

5.对称变换

对称变换的定义，对称变换与实对称矩阵的对应关系；实对称矩阵的特征值、特征向量的性质；实对称矩阵及实二次型的正交化简。

6.欧氏空间的同构

欧氏空间的同构；欧氏空间同构的充分必要条件。

7.最小二乘法

向量间的距离，向量到子空间的距离和有关结论及其几何意义；最小二乘解和它的求解方法。

第五章双线性函数

一、要求

1.了解线性函数的概念和性质，理解对偶空间和对偶基的概念，掌握两个基的过渡矩阵与它们的对偶基的过渡矩阵的关系。

2.理解双线性函数和度量矩阵的概念及其相互关系，了解非退化的双线性函数的概念及其充分必要条件。

3.掌握对称双线性函数的概念和它的度量矩阵的有关性质，了解它与对称矩阵及二次型的关系。了解非退化的双线性函数的正交基的概念。

二、考试内容

1.对偶空间

线性函数的定义和性质；对偶空间与对偶基，两个基的过渡矩阵与它们的对偶基的过渡矩阵的关系。

2.双线性函数

双线性函数和它的度量矩阵，双线性函数在不同基下的度量矩阵的合同关系；非退化双线性函数及其充分必要条件。

3.对称双线性函数

对称双线性函数，对称双线性函数与对称矩阵的关系，对称双线性函数与二次型的关系；对称双线性函数的度量矩阵的对角化；非退化对称双线函数的正交基。

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