2020年江苏28113高等几何自考考试大纲

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江苏教育学院编

28113 高等几何

高等几何是中学教师进修数学专业（本科）的必修课程。在学员已经熟悉初等几何、解析几何及高等代数有关知识的基础上，以仿射几何作为欧氏几何到射影几何的桥梁，逐步系统地阐明了射影几何的基本知识，并以变换群的观念加以比较，阐明了它们之间的内在联系。

本课程包括仿射几何、射影几何的基本知识二部分内容，其中以射影几何为主要内容。

本课程兼用代数法与综合法，侧重代数法。

第一章仿射坐标与仿射变换

一、要求

1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。

2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。

3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。

二、考试内容

1.单比的定义和求法。

2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。

3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。

4.几种特殊的仿射变换的代数表示。

第二章射影平面

一、要求

1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。

2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。

3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。

4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。

5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。

6.掌握复元素的概念及性质。

二、考核内容

1.中心投影与无穷远元素

中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。

2.笛萨格（Desargues）定理

应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。

3.齐次点坐标

齐次点坐标的计算及其应用。

4.线坐标

线坐标的计算及其应用。

5.对偶原则

作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。

6.复元素

复元素、共轭复元素，过一复点的实直线和在一复直线上的实点。

第三章射影变换与射影坐标

一、要求

1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。

2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。

3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。

4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。

5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。

二、考试内容

1.交比与调和比

交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。

2.完全四点形与完全四线形

完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。

3.一维基本形的射影对应

一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。

4.一维射影变换

一维射影变换的代数表示式和参数表示式。

5.一维基本形的对合

对合的定义、性质、参数表示，对合的二重元素及其性质。

6.二维射影变换

7.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。

8.射影坐标

一维射影坐标、二维射影坐标。

9.一维、二维射影变换的不变元素

求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。

第四章变换群与几何学

一、要求

1.了解变换群的概念。

2.理解几何学的群论观点。

3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。

二、考试内容

1.变换群与几何学的关系。

2.欧氏几何、仿射几何、射影几何学相应的变换群、变换式、研究对象基本不变量和基本不变性。

第五章二次曲线的射影理论

一、要求

1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。

2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。

3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。

4.了解二阶曲线的射影分类。

二、考试内容

1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。

2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。

3.求极点坐标和极线方程，求作极点和极线（作图），应用配极原则证明有关问题。

4.二阶曲线的射影分类。

第六章二次曲线的仿射性质和度量性质

一、要求

1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。

2.了解二次曲线的仿射分类与射影分类的区别。

3.掌握圆环点、迷向直线概念，掌握拉盖尔定理。

4.掌握二次曲线的主轴、焦点、准线等概念。

二、考试内容

1.求二阶曲线的中心、直径、共轭直径和渐近线。

2.求主轴、焦点和准线。

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