自考试卷：2011年1月02198线性代数自考试题及答案

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全国2011年1月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

说明：本卷中，AT表示矩阵A转置，det(A)表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，( ， )表示向量 ， 的内积，E表示单位矩阵．

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A是4阶方阵，且det(A)=4，则det(4A)=(      )

A．44                                                        

B．45

C．46                                                        

D．47

2．已知A2+A+E=0，则矩阵A-1=(      )

A．A+E                                                     

B．A-E

C．-A-E                                                    

D．-A+E

3．设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=(      )

A．A-1CB-1                                                

B．CA-1B-1

C．B-1A-1C                                                 

D．CB-1A-1

4．设A是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A的叙述正确的是(      )

A．ATA是s×s对称矩阵                             

B．ATA=AAT

C．(ATA)T =AAT                                         

D．AAT是s×s对称矩阵

5．设 1， 2， 3， 4， 5是四维向量，则(      )

A． l， 2， 3， 4， 5一定线性无关

B． l， 2， 3， 4， 5一定线性相关

C． 5一定可以由 1， 2， 3， 4线性表出

D． 1一定可以由 2， 3， 4， 5线性表出

6．设A是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足AX=0，则(      )

A．A=0                                                     

B．A=E

C．秩(A)=n                                               

D．0<秩(A)

7．设矩阵A与B相似，则以下结论不正确的是(      )

A．秩(A)=秩(B)                                         

B．A与B等价

C．A与B有相同的特征值                         

D．A与B的特征向量一定相同
8．设为矩阵A=的三个特征值，则=(      )

A．10                                                        

B．20

C．24                                                        

D．30

9．二次型f(x1，x2，x3)=的秩为(      )

A．1                                                         

B．2

C．3                                                          

D．4

10．设A，B是正定矩阵，则(      )

A．AB一定是正定矩阵                             

B．A+B一定是正定矩阵

C．(AB)T一定是正定矩阵                          

D．A-B一定是负定矩阵

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。填错、不填均无分。

11．设A= ，k为正整数，则Ak=­­           ．

12．设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=，则矩阵A=__________．

13．设同阶方阵A，B的行列式分别为-3，5，则det（AB）=_________.

14．设向量 =(6, -2, 0, 4), =（-3，1，5，7），向量 满足2 + =3 ,

则 =____________.

15．实数向量空间V={(x1, x2, …, xn)|3 x1+ x2+…+ xn =0}的维数是_______．

16．矩阵A=的秩=___________.

17．设 是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3 ）=_________.

18．设方阵A有一个特征值为0，则det(A3)=__________.

19．设P为正交矩阵，若（Px, Py）=8, 则（x, y）=_________.

20．设f(x1，x2，x3)= 是正定二次型，则t满足_____.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式

22．判断矩阵A=是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．

23．求向量组 =(1，2，-1，-2), =(2，5，-6，-5), =(3，1，1，1), =(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组，并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来．

24．求齐次线性方程组的一个基础解系及其结构解．

25．求矩阵A=的特征值和特征向量．

26．写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型．

f(x1，x2，x3)=

四、证明题(本大题共1小题，6分)

27．设方阵A满足(A+E)2=E，且B与A相似，证明：B2+2B=0．

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